Следующие задачи аналогичны приведенным.

На рисунке изображен план городка. Маленькие квадраты означают кварталы. Требуется наметить кратчайший маршрут, ведущий из точки А в точку В.

Провести кратчайший маршрут можно многими способами. Например, все маршруты, показанные на плане городка штриховыми линиями, кратчайшие. В общем случае кратчайший маршрут мы получим, двигаясь все время вниз в юго-восточном или юго-западном направлении. Сколько всего кратчайших маршрутов существует? Как следует рассуждать, чтобы решить эту задачу?

hТочка В отстоит от точки А довольно далеко. Прежде чем достичь точки В, нам необходимо, выйдя из точки А, добраться до какой-нибудь более близкой цели. Например, в точку Q из точки А ведут два маршрута, а в точки P и R — по одному маршруту. Двинемся по лабиринту улиц дальше. В точку S можно попасть как из точки Р. так и из точки Q. А поскольку в точку P из точки А ведет один кратчайший маршрут, а в точку Q — два кратчайших маршрута, следовательно, из точки А в точку S можно добраться по трем кратчайшим маршрутам.

Идея решения теперь уже ясна. Шаг за шагом, следуя от одного перекрестка к другому, мы исследуем, сколькими способами можно добраться до соответствующего угла из точки А, и, дойдя до точки В, получим ответ задачи. Найти все 252 кратчайших пути, ведущих из точки А в точку В, прямым перебором было бы затруднительно.

Сравнив схему распределения кратчайших маршрутов с числовыми пирамидами на стр. 114, вы обнаружите, что наша схема является частью числовой пирамиды, известной под названием треугольник Паскаля. Ta же схема позволяет дать ответ задачи о числе способов, которыми можно прочитать слово «аналогия» (задача «а»): каждый перекресток соответствует одной букве, каждый маршрут — одному из способов прочтения слова «аналогия». Ta же идея лежит и в основе решения задачи «б».

г. На вершину горы ведет дорога — серпантин. Все повороты дороги соединены тропинками, показанными на рисунке тонкими линиями. Сколько существует способов подняться на вершину горы?

Подсчитав число путей, ведущих от подножия горы к каждому из поворотов дороги, мы получим уже знакомую последовательность, встречавшуюся нам на стр. 107 под названием последовательности Фибоначчи.

Взгляните на нижние три рисунка. Сколькими способами можно добраться из точки А в точку В, двигаясь только по направлениям, указанным стрелками?

Перейдем теперь к музыке.

Параллели можно обнаружить не только в нотной записи, но и в самом звучании музыки.

Параллелизм в звучании достигается, например, в том случае, когда мужской и женский голоса вместе исполняют одну и ту же мелодию. Более высокий, тонкий, яркий женский голос как бы прокладывает «путь», а более низкий, густой мужской голос вторит ему на восемь ступеней звукоряда ниже, образуя параллель со сдвигом на октаву. С параллелями такого рода мы встречаемся, когда слышим, как участники торжественного собрания поют гимн или «Интернационал», как исполняют свои песни туристы, собравшись у костра, и в тому подобных случаях.

Параллель со сдвигом на октаву возможна и в том случае, когда поют два женских или два мужских голоса, но один из них высокий, а другой низкий (оба голоса должны исполнять одну и ту же мелодию).