Рассмотрим шесть различных вариантов расположения букв К, О и Т.

Можно ли быть уверенным в том, что других вариантов не существует? На этот вопрос мы должны ответить утвердительно: три различных предмета можно расставить в ряд только шестью способами. Три буквосочетания (КОТ, КТО и ТОК) читаются вполне осмысленно, три других звучат как абракадабра.

Попробуйте расположить в ряд всеми возможными способами буквы, составляющие какое-нибудь другое трехбуквенное слово. Найти такое слово, чтобы все шесть вариантов расположения его букв порождали осмысленные слова, вам не удастся. В редких случаях три варианта из шести возможных окажутся вразумительными буквосочетаниями. В большинстве же случаев имеет смысл лишь один-единственный вариант, а пять остальных оказываются «нелепыми», бессмысленными комбинациями букв.

Между вариантами расположения в ряд букв и цифр можно найти и другие, не столь заметные, но весьма интересные различия. (В математике такие «варианты» принято называть перестановками.) Единственное, что связывает слова КОТ, КТО и ТОК, — это буквы: все три слова состоят из одних и тех же букв. Значения же всех трех слов различны. В то же время между возможными перестановками цифр числа 246 имеется весьма тесная взаимосвязь: все эти числа делятся на 3. Случайно это или закономерно?

Существует простой признак делимости на 3. Вычислите сумму цифр того числа, делимость которого на 3 вы хотите проверить. Если сумма его цифр делится на 3, то и само число делится на 3. Верно и обратное утверждение: если исходное число делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3.

Сумма цифр числа 246 равна 12, то есть делится на 3. Следовательно, число 246 также делится на 3. Изменится ли сумма цифр при их перестановке? Разумеется нет, поэтому все числа, получающиеся из числа 246 при любой перестановке цифр, делятся на 3.

Из наших рассуждений ясно, что они применимы не только к числу 246, но и к любому другому числу, делящемуся на 3: при перестановке цифр такого числа всегда получаются числа, делящиеся на 3.

Хорошо известны признаки делимости на 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 25. Рассмотрите числа, делящиеся на 2, 4, 25 и т. д. Сохранится ли делимость при перестановке цифр? Попробуйте установить общее правило, показывающее, в каких случаях делимость «не чувствительна» к перестановкам цифр.

Or букв и цифр мы перейдем к аналогичной игре со звуками. Начнем хотя бы с какой-нибудь совсем простой песенки-считалочки, хорошо знакомой нам с раннего детства, например с песенки «Жип-жуп...» В ней звучат лишь две ноты. Поэтому спеть ее нетрудно даже тем, кто не силен в нотной грамоте.