Музыкальная фраза называется периодом, а как называется «мате- и матическая фраза» (или «математическое предложение»)?

Общепринятого понятия «математическое предложение» не существует. Однако имеется достаточно распространенный и известный тип утверждений определенной структуры, играющих важную роль в математике. Приведем несколько примеров таких утверждений.

Если целое число делится на 3 и на 4, то оно делится на 12.

Признак делимости на 3: на 3 делятся те (и только те) числа, сумма цифр которых делится на 3.

Если две прямые параллельны, то они нигде не пересекаются.

Произведение двух положительных чисел положительно.

Два из этих утверждений начинаются с «если», а их вторые половины начинаются с «то». В грамматике такие предложения называются условными. В условных предложениях после «если» всегда идет какое-то условие, или посылка, а после «то» — вывод из этого условия, или заключение.

Прочтите внимательно еще раз утверждения 2 и 4. Хотя в них нет ни «если», ни «то», тем не менее в каждом из них содержатся посылка и заключение. Например, во втором утверждении посылка гласит, что число делится на три, а заключение — что сумма его цифр делится на 3. Такое утверждение нетрудно записать в виде условного предложения. То же можно сказать и об обратном утверждении, в котором' посылка и заключение переставлены местами (если сумма цифр числа делится на 3, то оно также делится на 3).

Четвертое утверждение также можно записать в виде условного предложения: если два числа положительны, то произведение их также положительно.

Из посылки и заключения состоит любая математическая теорема. Доказать ее означает доказать, что если посылка верна (или, как говорят математики, истинна), то и заключение также верно. Для понимания любой теоремы очень важно четко отличать ее посылку от заключения.

Сформулируйте следующие утверждения в виде условных предложений:

В равнобедренном треугольнике два угла равны.

Площадь квадрата со стороной а равна а2.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Площади конгруэнтных фигур равны.

Число, делящееся на 5, оканчивается либо на 5, либо на 0.

Произведение трех отрицательных чисел отрицательно.

Величина, обратная правильной (то есть меньше 1) положительной дроби, больше 1.

Научившись самостоятельно выбирать посылки и заключения, вы сможете проделывать над утверждениями весьма интересное и изящное преобразование, а именно обращать утверждения. Это означает, что вы сможете конструировать такие условные предложения, в которых после «если» идет заключение, а после «то» — посылка исходного утверждения. Например, обратив первое из приведенных в начале этого раздела утверждений, мы получим новое утверждение: если число делится на 12, то оно делится на 3 и на 4.

Утверждение, обратное четвертому утверждению, гласит: если произведение двух чисел положительно, то каждое из чисел положительно. Однако это неверно: произведение двух чисел может быть положительно и в том случае, если оба сомножителя отрицательны. Отсюда следует весьма важный вывод о том, что обратимо далеко не каждое утверждение.