А какие мелодии с секвенцией вы могли бы назвать сами?

Продолжите наш список.

Вариации на какую-нибудь тему с секвентными ходами вы можете придумать и сами. Напойте вполголоса какую-нибудь мелодию (желательно, чтобы диапазон ее звучания не был очень широким) и повторите CO сдвигом по высоте вниз HJffl вверх. Попробуйте изменять высоту звучания в различных частях мелодии. (О секвенции см. также в главе «Последовательности».)

Слова и мелодии народных песен можно варьировать не одним, а несколькими способами. У одного и того же предмета может быть несколько названий. Числа и математические выражения также допускают не одно, а несколько представлений. В книге Рожи Петер «Игра с бесконечностью» рассказывается следующая история об известном математике Сринивасе Рамануджане. Однажды Рамануджан заболел и индииском

навестивший его коллега-европеец заметил в шутку, что приехал в кэбе с очень скучным номером: 1729. «О нет, сэр,— живо возразил Рамануджан, — число 1729 очень интересно. Это наименьшее число, представимое в виде суммы кубов двух других чисел не единственным способом. Как нетрудно проверить, IO3 + 93 = 1729 и 123 + I3 = 1729».

Попытаемся разобраться несколько подробнее, в чем суть этой забавной истории. Рамануджан представил число 1729 двумя различными способами и предложил три весьма интересных варианта задания этого числа. Какие же? Вот они:

1) IO3 + 93,
2) 123 + I3,

наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двух целых чисел двумя различными способами.

Третье определение числа 1729 вызывает особый интерес с нескольких точек зрения.

Во-первых, речь идет о совершенно исключительном свойстве. Большинство чисел не представимо в виде суммы кубов двух целых чисел даже одним-единственным способом, а число 1729 можно представить в виде суммы кубов двумя различными способами.

Выясним, сколько среди первых чисел натурального ряда найдется таких, которые представимы в виде суммы кубов двух чисел по крайней мере одним способом. Ясно, что наименьшим из них будет число 2: 13 + 13 = 2. За ним идет I3 + 23 = 9, 23 + 23 =

З3 + I3 = ... . Впишите недостающие числа, обозначенные многоточиями, и продолжите последовательность до тех пор, пока суммы кубов не превзойдут число 100. Если вы нигде не допустили ошибки, то всего должно получиться 9 таких чисел. После 100 члены нашей последовательности встречаются еще реже (в интервале от 100 до 200 заключено лишь 5 членов последовательности). И только 1729 будет первым числом, которое удается представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами.

Во-вторых, третье определение числа 1729 замечательно тем, что в нем не содержится никаких цифр или чисел. Разумеется, такое чисто словесное описание пригодно для задания многих чисел, причем разными способами. В этом вы сможете убедиться сами, записав цифрами числа, заданные следующими описаниями.

1) Наименьшее целое число, название которого односложно.

2) Наибольшее отрицательное целое число.

3) Наибольшее целое число, которое совпадает с числом букв в своем названии.

4) Два положительных целых числа, сумма которых равна их произведению.

5) Несколько более трудная задача: найти три положительных целых числа, сумма которых равна их произведению. Попробуйте решить ее!

6) Дробь, значение которой не изменится, если к числителю и знаменателю прибавить по единице.

7) Наименьшее целое число, делящееся на все натуральные числа от 1 до 10.