Какая это последовательность — возрастающая или убывающая?

Из скольких слагаемых состоит ее тысячный член? Велик он или мал?

Ответить на первые два вопроса очень просто. Интересующая нас последовательность возрастающая. Ее тысячный член состоит ровно из тысячи слагаемых, поскольку при переходе от каждого члена к следующему числу слагаемых возрастает на единицу, а первая «сумма» состоит ровно из одного слагаемого.

Третий вопрос более интересен. Некоторые полагают, что тысячный член последовательности представляет собой достаточно большое число, поскольку он равен сумме тысячи слагаемых. Так ли это? Попробуем разобраться.

Однажды, когда родителей дома не было, один сластена достал из шкафа банку с вареньем и съел половину, затем завязал банку и поставил ее снова на полку, как будто он к ней и не прикасался. На следующий день он снова достал банку и съел половину оставшегося варенья, то есть четверть того, что было в банке сначала. После второго набега в банке стало недоставать уже 1/2 + 1/4 от первоначального содержимого. На третий день наш сластена снова полез в шкаф и съел половину оставшегося варенья, а всего за три дня он съел 1/2 + 1/4 + 1/8 от общего количества варенья. Предположим, что сластена продолжает свои набеги на запасы варенья неограниченно долго. Тогда доли первоначального количества варенья в банке, которые он съест за один, два, три, ... дня, образуют последовательность

На тысячный день он съест почти всю банку ,варенья. Велика ли будет доля недостающего варенья на тысячный день? Она составит почти единицу (то есть сластена почти полностью опустошит банку варенья), но все же будет чуть меньше единицы. Это странное на первый взгляд обстоятельство и означает, что сумма любого числа
Слагаемых.

Многие игры в слова также связаны с образованием последовательностей. В качестве примера приведем простейшую из таких игр.

Правила игры ясны из этих двух примеров. Из одного заданного слова требуется получить другое, изменяя каждый раз лишь по одной букве так, чтобы после каждого изменения получалось осмысленное слово (разрешается брать только существительные, стоящие в именительном падеже единственного числа).

«Соль» игры заключается в подборе таких пар начальных и конечных слов, которые связаны между собой по смыслу. Например, построить мост через реку (то есть, следуя правилам игры, превратить слово МОСТ в слово РЕКА), спасти козу от волка или муху от паука. Попробуйте решить эти задачи — построить соответствующие цепочки слов.

Впрочем, выбирать в качестве начальных и конечных слов можно любые слова, состоящие из одинакового числа букв. Проще всего решаются задачи с трех- и четырехбуквенными словами.

Можете ли вы указать два слова, которые невозможно перевести друг в друга, соблюдая при этом правила игры?

В аналогичную игру можно играть не только со словами, но и со звуками. Выберите какой-нибудь исходный мотив, например знакомую вам народную песню. Спойте ее и запишите сольмизацию.