До сих пор мы еще не ответили на вопрос, поставленный в начале

Во-первых, упорядоченные элементы множества становятся более обозримыми. Именно поэтому мы снабжаем книги предметными и именными указателями, составляем пофамильные списки, ведем каталоги в библиотеках, нумеруем места в зрительных залах театров и кинотеатров, трамвайные и автобусные маршруты и т. д.

Во-вторых, различные способы упорядочения одного и того же множества позволяют обнаруживать интересные и красивые зависимости между его элементами. Например, целыми числами можно перенумеровать все рациональные числа (дроби), достаточно плотно заполняющие числовую прямую, что само по себе довольно неожиданно.

Именно поэтому отыскание различных способов упорядочения положительных целых чисел — не только увлекательная, но и весьма полезная игра с числами.

Рассмотрим натуральные числа. Будем считать, что они перемешаны и нам необходимо расставить их по порядку. Сделать это можно многими способами. Несколько из них мы сейчас продемонстрируем, остальные вам придется придумать самостоятельно.

Упорядочим числа по тому, сколько у них делителей. При такой классификации состав групп, на которые разобьются числа, получится следующим:

делитель: 1;

делителя: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,

делителя: 4, 9, 25;

делителя: 6, 8, 10, 14, 15, 21, ...;

делителей: 16, 81, ... ;

12 делителей: 60, 72, ... .

Было бы интересно довести данную классификацию до конца. Многое в ней заслуживает внимания.

Что, например, можно сказать о числах второй группы?

Что можно сказать о числах, обладающих четырьмя делителями?

Что можно сказать о группах, в которые входят числа с нечетным числом дели

телей?

1. Интересную последовательность мы получим, расположив первые сто натуральных чисел в порядке возрастания суммы их цифр. В одну группу должны входить числа с одинаковой суммой цифр: в первую — с суммой цифр, равной единице, во вторую — с суммой цифр, равной двум, и т. д. Мы приходим к следующей классификации первых ста натуральных чисел:

сумма цифр равна I: 1, 10;

сумма цифр равна 2: 2, 11, 20;

сумма цифр равна 3: 3, 12, 21, 30;

сумма цифр равна 4: 4, 13* 22, 31, 40;